Một lớp các hệ phương trình lặp ba ẩn

Giải hệ $\begin{cases}x-3z-3z^2x+z^3=0\\
y-3x-3x^2y+x^3=0\\
z-3y-3y^2z+y^3=0
\end{cases}$



Lời giải:
Xin giới thiệu với mọi người cách xây dựng nên bài toán này. Từ đây ta sẽ có những bài toán tương tự.
Bài toán này xuất phát từ lớp hàm $f\left(x \right)=\frac{x^{3}+mx}{nx^{2}+p}$
Ta có:
$f\left(x \right)-x=\frac{x^{3}-mx}{nx^{2}+p}-x=\frac{\left(1-n \right)x^{3}+\left(m-p \right)x}{nx^{2}+p}$
Lại có:
$f'\left(x \right)=\frac{nx^{4}+\left(3p-mn \right)x^{2}+mp}{\left(nx^{2}+p \right)^{2}}$
Điều kiện để $nx^{4}+\left(3p-mn \right)x^{2}+mp$ có dạng $\left(Ax^{2}+B \right)^{2}$ (lúc này ta suy ra $f$ đồng biến) là:
$\left\{\begin{matrix}n>0\\\Delta =\left(3p-mn \right) ^{2}-4mnp=0


\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
n>0\\3p^{2}-10mnp+m^{2}n^{2}=0


\end{matrix}\right.$

Để có bài toán ta chọn $m=-3,n=3$ suy ra $p=-1$ hoặc $p=-9$
Chọn $p=-1$ ta được hàm số
$f\left(x \right)=\frac{x^{3}-3x}{3x^{2}-1}$
Đến đây để thu được bài toán hệ đói xứng ba ẩn như trên ta chỉ cần xét hệ
$\left\{\begin{matrix}
x=f\left(y \right)\\y=f\left(z \right)
\\z=f\left(x \right)


\end{matrix}\right.$

Để giải thì tương tự như trên :o:-?