Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Đà Nẵng 2014-2015

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2014-2015

VÒNG 1 (11/9/2014)

$\boxed{\text{Bài 1 (5đ)}}$

 Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết:

$x_1=\frac{2013}{2014}$,$x_{n+1}=\frac{1}{4+2011x_n}$ (với mọi $n>0$)

Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó

$\boxed{\text{Bài 2 (5đ)}}$

Tìm tất cả các hàm số $f: Z ---> R$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và

$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{Z}$

Bài 3: (5 điểm)}

Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

$\boxed{\text{Bài 4 (5đ)}}$

Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành viên biết Tiếng Đức cùng bằng 50. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham dự hội nghị thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 thành viên biết tiếng Anh, đúng 10 thành viên biết tiếng Pháp và đúng 10 thành viên biết tiếng Đức.

VÒNG 2 (12/9/2014)

$\boxed{\text{Bài 5 (7đ)}}$

Cho tam giác ABC nhọn không cân có O là tâm ngoại tiếp. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho AP vuông góc với BC. Đường trung trực của đoạn AP cắt AC tại M. Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt BC tại N, các đường thẳng AO và MN cắt nhau tại K. Gọi D là điểm đối xứng của O qua BC

a) Chứng minh rằng đường thẳng AD đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng PK.

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên CA và AB. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua Q.

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt đường thẳng AI tại T. Chứng minh KT vuông góc BC

$\boxed{\text{Bài 6 (7đ)}}$

Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 2 (mod 4)$

b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 3 (mod 4)$

$\boxed{\text{Bài 7 (6đ)}}$

Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10x10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu đen. Chẳng hạn như hình vẽ :

                                                                             

 

Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.

=======Hết=======