Sử dụng chia hết giải pt nghiệm nguyên

Tìm cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn hệ sau:
                       $\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+xy\leq 49(1)\\
xy\left ( x+y \right )=7p+r(2)\\
\left ( x+y \right )^{7}-\left ( x^{7}+y^{7} \right )=7^{5}q(3)
\end{matrix}\right.$
Với $p,q,r\in N;0<r<7$

                                               Lời giải:
Từ (2) suy ra $xy\left ( x+y \right )$ không chia hết cho $7$
Từ (3) suy ra $\left ( x+y \right )^{7}-\left ( x^{7}+y^{7} \right )\vdots 7^{5}\Leftrightarrow 7xy\left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2}+xy \right )^{2}\vdots 7^{5}$
Suy ra $\left ( x^{2}+y^{2}+xy \right )^{2}\vdots 7^{4}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+xy\vdots 7^{2}$
Suy ra $ x^{2}+y^{2}+xy\geq 7^{2}=49$
Do đó từ (1) suy ra $ x^{2}+y^{2}+xy=49$ $\Leftrightarrow  x^{2}+y^{2}+xy-49=0$
$\Delta =y^{2}-4\left ( y^{2}-49 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow y^{2}\leq \frac{4.49}{3}<66\Leftrightarrow y=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}$
Thử lại ta thấy $(x,y)$ là $(3,5)$ và $(5,3)$