$x^{x+y}=y^{y-x}\left ( 1 \right )$

Giải phương trình trên tập số nguyên dương: $x^{x+y}=y^{y-x}\left ( 1 \right )$
                                                          Lời giải:
Vì $x^{x+y}\geq 1\Rightarrow y^{y-x}\geq 1\Rightarrow \begin{bmatrix}
y=1\\
y-x\geq 0
\end{bmatrix}$


* Nếu $y=1$ suy ra $x=1$
* Nếu $x=y$ suy ra $x^{2x}=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=1\\
y=1
\end{matrix}\right.$
* Nếu $y>x$
$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( xy \right )^{x}=\left ( \frac{y}{x} \right )^{y}\left ( 2 \right )$
suy ra $\frac{y}{x}\in Z^{+}$. Đặt $y=kx$, $k$ là số nguyên dương
$\left ( 2 \right )\Leftrightarrow \left ( kx^{2} \right )^{x}=k^{kx}\Leftrightarrow kx^{2}=k^{k}\Leftrightarrow x^{2}=k^{k-1}\left ( 3 \right )$
+ Nếu $k$ lẻ. Đặt $k=2m+1$ $m$ là số nguyên không âm
$\left ( 3 \right )\Leftrightarrow x=\left ( 2m+1 \right )^{m}\Rightarrow y=\left ( 2m+1 \right )^{2m+1}$
+ Nếu $k$ chẵn. Suy ra $k-1$ lẻ
$\left ( 3 \right )\Rightarrow k $ là số chính phương $\Rightarrow k=\left ( 2m \right )^{2}$
$\left ( 3 \right )\Leftrightarrow x^{2}=\left ( 2m \right )^{2\left ( 4m^{2}-1 \right )}\Leftrightarrow x=\left ( 2m \right )^{4m^{2}-1}$