Đề: Tìm GTNN của biểu thức:
                                    $P=\frac{x^{2}+2x+3}{\left ( x+2 \right )^{2}}$


                                                Lời giải:
Gọi $t$ là một giá trị bất kì của $P$. Khi đó ta có:
     $t=\frac{x^{2}+2x+3}{\left ( x+2 \right )^{2}}$
     $\Leftrightarrow x^{2}+2x+3=tx^{2}+4tx+4t\Leftrightarrow x^{2}\left ( t-1 \right )+x\left ( 4t-2 \right )+4t-3 (*)$
* Nếu $t=1$ thì $x=-\frac{1}{2}$
* Nếu $t\neq 1$. Để phương trình (*) có nghiệm thì $\Delta \geq 0$
$\Leftrightarrow \Delta =\left ( 4t-2 \right )^{2}-4\left ( t-1 \right )\left ( 4t-3 \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow 12t-8\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{2}{3}$
Từ cả hai trường hợp trên suy ra $P\geq \frac{2}{3}$
Vậy GTNN của $P$ là $\frac{2}{3}$ khi $x=1$