Đề: Tìm tất cả các hàm: $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa mãn điều kiện:
                         $f\left ( \frac{f\left ( x \right )}{y} \right )=yf\left ( y \right )f\left ( f\left ( x \right ) \right )$ (1)
Với mọi số thực dương $x,y$

                                 Lời giải:
Trong (1) cho $y=1$, ta có:
$f\left ( f\left ( x \right ) \right )=f\left ( 1 \right )f\left ( f\left ( x \right ) \right )\Rightarrow f\left ( 1 \right )=1\Rightarrow f\left ( f\left ( 1 \right ) \right )=f\left ( 1 \right )=1$
Trong (1) cho $x=1$, ta có:
$f\left ( \frac{f\left ( 1 \right )}{y} \right )=yf\left ( y \right )f\left ( f\left ( 1 \right ) \right )\Rightarrow yf\left ( y \right )=f(\frac{1}{y}),\forall y>0$
Từ (2) kết hợp với (1) ta có:
$f\left ( f\left ( y \right ) \right )=f\left ( \frac{f\left ( \frac{1}{y} \right )}{y} \right )=yf\left ( y \right )f\left ( f\left ( \frac{1}{y} \right ) \right )=yf\left ( y \right )f\left ( yf\left ( y \right ) \right )$
$=yf\left ( y \right )f\left ( \frac{f\left ( y \right )}{\frac{1}{y}} \right )=yf\left ( y \right )\frac{1}{y}f\left ( \frac{1}{y} \right )f\left ( f\left ( y \right ) \right )$
$=f\left ( y \right )f\left ( f\left ( y \right ) \right )f\left ( \frac{1}{y} \right )\Rightarrow f\left ( y \right )f\left ( \frac{1}{y} \right )=1(3)$
Nhân (2) và (3) theo vế ta được
$yf^{2}\left ( y \right )=1,\forall y>0\Rightarrow f\left ( y \right )=\frac{1}{\sqrt{y}},\forall y>0$
Hay $f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{x}},\forall x>0$
Thử lại thấy hàm $f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{x}},\forall x>0$ thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho.
Vậy hàm số duy nhất thỏa mãn yêu cầu là $f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{x}},\forall x>0$