Bài hình trong đề thi chọn đội tuyển Đà Nẵng 2014-2015

Đề: Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Lời giải: (perfectstrong)
Gọi $O'$ là tâm của đường tròn $(C_1)$. $X$ là giao của $GO$ và $HE$.
Vì $\angle ACO=90^o \Rightarrow AO$ là đường kính của $(C_1)$ nên $O'$ là trung điểm $AO$.
Mà ta lại có: $(CA,CO')\equiv(CO,CB) \pmod{\pi}$ (do $CA \perp CO, CO' \perp CB$) và $\triangle CO'A,COB$ là các tam giác cân tại $O,O'$ tương ứng nên $\triangle CO'A,COB$ đồng dạng nghịch
Nên suy ra\[\left( {EC,EB} \right) \equiv \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OB} } \right) \equiv \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'A} } \right) \equiv \left( {FC,FA} \right)\pmod{\pi}\]
Do đó $\triangle CEF$ cân tại $C$. (1)
Chú ý rằng $C,D$ đối xứng qua $OO'$ nên ta có $(EA,ED) \equiv (EB,ED) \equiv (CB,CD) \equiv (O'C,O'A) \equiv (O'A,O'D) \pmod{\pi}$. Do đó $A,O',E,D$ đồng viên (2)
Suy ra $(O'O,O'E) \equiv (DA,DE) \equiv (CD,CE) \pmod{\pi}$. Mà $O'O \perp CD \Rightarrow O'E \perp CE$.
Nên $E$ là trung điểm $CG$ (3)
$CEDB$ là tứ giác điều hòa nên $CD$ là đường đối trung của $\triangle ECB \Rightarrow (CE,CF) \equiv (CD,CB) \equiv (GC,GD) \pmod{\pi} \Rightarrow HCF$ cân tại $H$.
Từ đó $HX$ là phân giác $\angle GHC$. Mà $OC=OD \Rightarrow GO$ là phân giác $\angle HCD \Rightarrow X$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle HCD$.
Lại có $CE=CF=\dfrac{CG+CH-GH}{2}=GE \Rightarrow E,F,D$ là tiếp điểm của $(X)$ trên các cạnh $\triangle HCD$. Ta có đpcm.