Blog Toán Học

Thứ Hai, 18 tháng 11, 2013

Cho $x,y,z \ne 0$ thỏa mãn $\sqrt{x^2+y^2}+ \sqrt{y^2+z^2}+ \sqrt{z^2+x^2}=3$ . Tìm GTNN của

$A= \dfrac{x^2}{ \sqrt{x^2+y^2}}+ \dfrac{y^2}{ \sqrt{y^2+z^2}}+ \dfrac{z^2}{ \sqrt{z^2+x^2}}$

Lời giải. Đặt $\sqrt{x^2+y^2}=a, \sqrt{y^2+z^2}=b, \sqrt{z^2+x^2}=c$ . Khi đó $a+b+c=3$ và

$A= \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2b}+ \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2c}+ \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2a}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$\begin{aligned} A & = \left( \dfrac{a^2}{2b}+ \dfrac{b^2}{2c}+ \dfrac{c^2}{2a} \right)+ \left( \dfrac{c^2}{2b}+ \dfrac{a^2}{2c}+ \dfrac{b^2}{2a} \right) - \dfrac{a+b+c}{2} \\ & \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}- \dfrac{a+b+c}{2}= \dfrac{a+b+c}{2}= \dfrac 32 \end{aligned}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z= \dfrac{1}{ \sqrt 2}$ hoặc $x=y=z= - \dfrac{1}{ \sqrt 2}$

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Chào các bạn đã ghé thăm blog. Hi vọng các bạn sẽ có được nhiều điều bổ ích từ blog. Các bạn có thắc mắc nào hãy để lại ý kiến tại đây. Tất cả những nhận xét của các bạn vô cùng quan trọng để cho blog phát triển.