Cho △ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Các đường tròn nội tiếp các tam giác △OAB,△OBC,△OCA có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng: Nếu O là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm hay trực tâm của △ABC thì △ABC là tam giác đều!

Lời Giải:

Gọi độ dài các cạnh AB,BC,CA là c,a,b

+Nếu O là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Từ giả thiết ta có được OBsin∠ACB2=OAsin∠ACB2

=> OB = OC Tương tự : OB = OA từ đó tam giác ABC đều

+Nếu O là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt OA = x, OB =y, OC =z (x,y,z dương)

  Do O là trọng tâm nên S(OAC) = S(OBC) = S(OAB)

  => xyc = xzb = yza

  Ta có azy = cxy => (az)2=(cx)2 

=>a2(2(b2+a2)−c2)=c2(2(b2+c2)−a2)

=> a =c . tương tự cũng có c=b và do đó tam giác ABC đều

Riêng trường hợp O là trực tâm tam giác ABC thì giả thiết đúng với mọi tam giác ABC

(Không biết có gì nhầm lẫn trong bài giải thích của mình không, vì vội quá nên mong mọi người thông cảm, xin cảm ơn)