Cho x thuộc đoạn [-1,1].chứng minh rằng

x(91+x2−−−−−√+131−x2−−−−−√)≤16.

Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz

(91+x2−−−−−√+131−x2−−−−−√)2≤(27+13)[3(1+x2)+13(1−x2)]=80(8−5x2).

Từ đây kết hợp với bdt AM-GM,ta được

x2(91+x2−−−−−√+131−x2−−−−−√)2≤80x2(8−5x2)=4⋅4⋅5x2⋅(8−5x2)≤4⋅[5x2+(8−5x2)]2=162.
Và như thế ta có

x(91+x2−−−−−√+131−x2−−−−−√)≤16.

x=25√.