Blog Toán Học

Thứ Sáu, 8 tháng 11, 2013

Cho c ác số dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh rằng: $ \dfrac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}+\dfrac{b+c+1}{b+c^{2}+a^{3}}+\dfrac{c+a+1}{c+a^{2}+b^{3}}\leq \dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Lời giải: Áp dụng BĐT $Cauchy - Schwarz$ :

$\left ( a+b^{2}+c^{3} \right )\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )\geq (a+b+c)^{2}\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}\geq \dfrac{c(a+b+c)^{2}}{ac+c+1}\Rightarrow \dfrac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}\leq \dfrac{(ac+c+1)(a+b+1)}{c(a+b+c)^{2}}=\dfrac{(ac+c+abc)(a+b+1)}{c(a+b+c)^{2}}=\dfrac{(a+b+1)(ab+a+1)}{(a+b+c)^{2}}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được :

$VT\leq \dfrac{\sum (ab+a+1)(a+b+1)}{(a+b+c)^{2}}$

Nhưng với $abc=1$ thì ta luôn có đẳng thức sau :

$\sum (ab+a+1)(a+b+1)=(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+c)+a+b+c=(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+c)+a+b+c=(a+b+c)^{2}+3(a+b+c)+\sum ab(a+b)+3$

Do đó $VT\leq \dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+c)+a+b+c}{(a+b+c)^{2}}=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ .

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Chào các bạn đã ghé thăm blog. Hi vọng các bạn sẽ có được nhiều điều bổ ích từ blog. Các bạn có thắc mắc nào hãy để lại ý kiến tại đây. Tất cả những nhận xét của các bạn vô cùng quan trọng để cho blog phát triển.