Blog Toán Học

Đề: CMR: $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \ge abc(a+b)(b+c)(c+a)$ (a,b,c >0)

Lời giải:

Đối với những bài toán dạng như thế này thì “ghép đối xứng” là một trong những kỹ thuật màta nên nghĩ tới. Nghĩa là ta sẽ tách tích bên vế trái thành từng cặp từng cặp rồi tìm cách đánh giá cho hiệu quả. Cụ thể ở đây, ta sẽ tìm cách đánh giá cho

$(a^2+bc)(b^2+ca),\quad (b^2+ca)(c^2+ab),\quad (c^2+ab)(a^2+bc).$

Quan sát một chút, ta thấy rằng

$\begin{aligned} (a^2+bc)(b^2+ca) &=a^2b^2+ c(a^3+b^3) +abc^2 \\ &=a^2b^2+c(a+b)(a^2-ab+b^2)+abc^2.\end{aligned}$

Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì

$a^2-ab+b^2 \ge ab.$

Do đó, ta có

$(a^2+bc)(b^2+ca) \ge a^2b^2+c(a+b)\cdot ab +abc^2 =ab(a+c)(b+c).$

Các bạn có thấy rằng đánh giá này cho ta một lượng rất giống với đại lượng ở vế phải không? Điều đó khiến ta khá yên tâm rằng đánh giá này rất có khả năng giúp chúng ta giải được bài toán. Ta mạnh dạn tiến hành đánh giá tương tự cho hai biểu thức còn lại và thu được

$(b^2+ca)(c^2+ab) \ge bc(a+b)(a+c),\quad (c^2+ab)(a^2+bc) \ge ca(b+c)(b+a).$

Do bất đẳng thức đã cho có sự xuất hiện đầy đủ của ba đại lượng $a^2+bc,\,b^2+ca,\, c^2+ab$ nên rất tự nhiên, ta nghĩ đến việc nhân cả ba bất đẳng thức trên lại. Ta thu được