Blog Toán Học

Thứ Hai, 18 tháng 11, 2013

Bài toán (CĐT VMO Bình Định 2013-2014) : Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\dfrac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$ . Chứng minh rằng $a=b$

Lời giải :

Vì $gcd(ab,5ab-1)=1$ nên ta có $\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$ . Đặt $\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=k\in \mathbb{Z}$ .

Dễ dàng có $5(a^2+b^2)-2\geq 10ab-2>5ab-1\Rightarrow k=\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}>1\Rightarrow k\geq 2$ .

Xét tập $S=\left \{ (a,b)\in \mathbb{Z}^{+}\times \mathbb{Z}^{+} \mid k=\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}\right \}$

Cố định $k$ và trong các phần tử của $S$ , ta chọn ra cặp số $(A,B)$ nguyên dương thỏa mãn tổng $A+B$ nhỏ nhất. Gỉa sử $A\neq B$ , không mất tính tổng quát, xét $A>B$ .

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$\dfrac{5x^2+5B^2-2}{5xB-1}=k\Leftrightarrow 5x^2-5xBk+5B^2+k-2=0$

Dễ thấy phương trình này có một nghiệm là $A$ , gọi nghiệm còn lại là $x_0$ . Theo định lí $Viete$ , ta có :

$\left\{\begin{matrix} A+x_0=Bk & (1)& \\ Ax_0=\dfrac{5B^2+k-2}{5}& (2) & \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ ta có $x_0$ nguyên. Nếu $x_0<0$ thì $x_{0}\leq -1\Rightarrow 5x_0^2-5x_0Bk+5B^2+k-2\geq 5+5Bk+5B^2+k-2>0$ . Mâu thuẫn. Nếu $x_0>0$ thì $(x_0,B)\in S$ .

Khi đó do tính nhỏ nhất của tổng $A+B$ mà ta có $x_0\geq A\Rightarrow \dfrac{5B^2+k-2}{5A}\geq A\Leftrightarrow \dfrac{5A^2+5B^2-2}{5AB-1}-2\geq 5(A-B)(A+B)\Leftrightarrow \dfrac{5(A-B)^2}{5AB-1}\geq 5(A-B)(A+B)\Leftrightarrow A-B\geq (A+B)(5AB-1)$ .

Rõ ràng điều này vô lí.

Như vậy phải có $x_0=0$ , suy ra $5B^2=2-k\geq 0$ , lại có $k\geq 2$ , do đó $k=2$ .

Suy ra $\dfrac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=2\Leftrightarrow (a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b$ . Đây là điều phải chứng minh.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Chào các bạn đã ghé thăm blog. Hi vọng các bạn sẽ có được nhiều điều bổ ích từ blog. Các bạn có thắc mắc nào hãy để lại ý kiến tại đây. Tất cả những nhận xét của các bạn vô cùng quan trọng để cho blog phát triển.