Blog Toán Học

Thứ Năm, 14 tháng 11, 2013

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc $A$ . Qua $I,J$ lần lượt kẻ các đường thẳng $DE,FG$ song song với $BC$ với $D,F$ thuộc đường thẳng $AB$ và $E,G$ thuộc đường thẳng $AC$ . Chứng minh rằng : $\dfrac{1}{\overline{DE}}+\dfrac{1}{\overline{FC}}=\dfrac{2}{\overline{BC}}$

Lời giải :

Gọi $K$ là giao điểm của $AJ$ với $BC$

Ta sẽ chứng minh rằng $(ABDF)=-1$ .

Thật vậy, ta có $(AKIJ)=-1$ (hàng điều hòa tia phân giác)

Do đó $\dfrac{\overline{IA}}{\overline{IK}}=-\dfrac{\overline{JA}}{\overline{JK}}$

Mà theo định lí $Thales$ : $\dfrac{\overline{IA}}{\overline{IK}}=\dfrac{\overline{DA}}{\overline{\overline{DB}}},\dfrac{\overline{JA}}{\overline{JK}}=\dfrac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\Rightarrow \dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=-\dfrac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\Rightarrow (ABDF)=-1$

Theo hệ thức $Decartes$ , ta có :

$\dfrac{2}{\overline{AB}}=\dfrac{1}{\overline{AD}}+\dfrac{1}{\overline{AF}}\Leftrightarrow \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}}+\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AF}}=2$

Mà cũng theo định lí $Thales$ : $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}},\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AF}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{FC}}\Rightarrow \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}}+\dfrac{\overline{BC}}{\overline{FG}}=2\Rightarrow \dfrac{1}{\overline{DE}}+\dfrac{1}{\overline{FG}}=\dfrac{2}{\overline{BC}}$

Đây là điều phải chứng minh.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Chào các bạn đã ghé thăm blog. Hi vọng các bạn sẽ có được nhiều điều bổ ích từ blog. Các bạn có thắc mắc nào hãy để lại ý kiến tại đây. Tất cả những nhận xét của các bạn vô cùng quan trọng để cho blog phát triển.